door を使ったイディオム。

answer the door　「玄関に出る、客を応対する」
　実際にはドアのところに立っている客に応対するわけだが、ノックやドアベルだけでは客が誰だか分からないので、「ドアに応えて！」と言っているイディオム。
Go answer the door while I serve our guests drinks.
「玄関に出て！　私はお客様に飲み物をお出しするから。」
【同】answer the bell

behind closed doors　「内密に、非公開で」
　「閉じられたドアの向こう側で」ということ。
The new club president has been chosen behind closed doors.
「クラブの新しい会長は非公開で決められてしまった。」
【類】close the door to someone「…への門戸を閉ざす、…を不可能にする」
　　　open the door to someone「…を可能にする」

show someone the door　「断る、追い返す、お帰り願う」
　帰り道である出口のドアを指し示し、「お帰りください」という情景をイメージしよう。ここから「断る、追い返す」という意味のイディオムになった。
Mary asked for a raise, and then they showed her the door.
「メアリーは昇給を求めたが、彼らはそれを断った。」
【注】show someone tothe door「ドアまで見送る」
　　　⇒ 見出しの熟語には敵意が感じられるが、to を使ったこちらは誠意が感じられる。
【類】see someone out「玄関まで見送る」
　　　⇒ これにも敵意はない。

show someone the door については、この記事もごらんください。